>>783
√の中身は判別式D=b^2-4acです

x^2+x+1=0 において、
a=1, b=1, c=1 ですから、

D=1^2-4×1×1=-3 です

しかし、根号内の数は0以上だと定義されていますから、√-3はあり得ません。
(実際、2乗して-3になる実数なんてありませんから、容易に理解できるでしょう)

だから、2乗して-1になる数を「虚数i」と設定することで、(i^2=-1)

√-3=√3×√-1=√3×i …①となり、
平方根の定義を外れずに表記できるのです。

※①は正しい式ではありませんよ。√の中にマイナスがあるのはおかしいですから。分かりやすくするよう、便宜上そのように表記しただけです。