lim[x→∞](e^x/x^n)=∞(nは自然数)
の証明ってこれで合ってますか？
また、もっと簡潔な証明があったら教えて欲しいです。

f(x)の第k次導関数をf{k}(x)と書く。
[証明]
f(x)=e^x-x^(n+1)とおくと、f{n+1}(x)=e^x-(n+1)!
ここで、e^x>(n+1)!を満たすxを1つとって、それをp[n+1]とおく。
e^xは単調増加だから、
　x>p[n+1] ⇒ f{n+1}(x)>0 ⇒f{n}(x)は単調増加
f{n}(x)はx>p[n+1]において単調増加なので、
　x>p[n+1] かつ f{n}(x)>0
を満たすxを1つとって、それをp[n]とおくと、
　x>p[n] ⇒ f{n}(x)>0 ⇒ f{n-1}(x)は単調増加
同様にして、p[n-1], p[n-2], ..., p[2], p[1], p[0]をとると、
　x>p[0] ⇒ f(x)>0 ⇒ e^x>x^(n+1)
すなわち、十分大きなxについて、e^x>x^(x+1), ∴e^x/x>x
よって、はさみうちの原理により、x→∞のとき、e^x/x→∞　[終]