基礎論も数学の分野だとは思うけど
他の数学とは異質なのは明らかだと思うね
通常の数学は現実の現象からはじまっている
基礎論は妄想からはじまっている

しかしまた不完全性定理本かよとは思う
氾濫する微積分入門とか線形代数入門じゃないんだから
とはいえ以前は線形論理とかアクゼルの構成的集合論とか
基数算術の本なんか結構出版されてたけど復刊もされないね

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無矛盾性についても調べてるよ
主流なのは理論がもつモデルのタイプを分類すること
例えば安定した理論で作られる体ではなにそれの条件を満たせば代数的閉体になるとか
こういった手法によって代数幾何の問題が解かれたことがある
幾何の性質というより幾何で出てくる集合の濃度に関する定理とか
基礎論は基本的には集合という視点からしか普通の数学を扱えないから
ほとんど濃度とか順序に関する定理ばかりになる
例えば代数的整数論みたいなもので具体的な整数の性質を決定することとかはできない
濃度はとりわけ関数論で重要になる
普通何か幾何とか関数とか研究対象があって多様体とか何とか関数とかが
使い勝手が良いように定義されるけど
基礎論はそこであえて非可算に拡張して病的対象をつくってみたりする
こういうのはシェラとかいう人がやって次々ＺＦＣの独立命題を作っていった