というか、関数解析とか必要に応じてやるものだからw

関数解析の最初のゴールは、

①スペクトル分解を学んでから、量子力学（量子情報）をやる
②コンパクト作用素を学んでから、楕円形微分方程式論をやる
③変分法

の３つだね。
③もEvansが素晴らしい。
それから、量子情報は、

林正人「量子情報科学入門」

という本がいいよ。
この分野は日進月歩だから若手にもかなりチャンスがあると思うよ。
間違っても散乱理論とかにはいかないでねw