http://up3.viploader.net/ippan/src/vlippan325211.bmp
"Riemannian polar coordinate may be introduced on B(p;ρ0)"とは,
{v∈TpM｜||v||≦ρ}の近傍で指数写像exp_pが定義されC∞同値――という意味です.
exp_pの0におけるrankがdなので逆関数定理より、こういうρがとれます。

で、"If thus〜"以下の文ですけど…
これって要するに、exp写像について逆関数定理を詳しく述べたような話をしてる感じですけど
こんなん、きっちり証明をカバーするのはキツいですよね？

要するに、こういうことでしょう；
A⊂R^n,　B⊂R^d；開集合、　f:A×B→R^d；C∞級
全てのx∈Aについて、φ_x：y→f(x,y)は点y=b∈Bにおいてrankがdとするとき、
forall a∈A、exists K;aの近傍、U;bの開近傍、forall x∈K、φ_x|U：U→φ_x(U)はC∞同値

こういうのって流しちゃうもんですか？　それとも頑張りますか？