>>746に回答してくれたみなさんありがとうございました。
次の様にして解けました。

x軸上の 1≦x≦2 の範囲に2点S(s, 0)とT(t, 0)を s<t となるように取る。
このとき、三角形ABTは三角形ABSの内部に含む。
直線BSと辺ATの交点をHとする。
三角形HTBにおいて、
HT+BT>BH (三角形の2辺の和>残りの辺)
両辺にAHを足して、
HT+BT+AH>BH+AH
よって、AT+BT>AH+BH ・・・ (1)
三角形AHSにおいて、
AH+SH>AS
両辺にBSを足して、
AH+SH+BS>AS+BS
よって、AH+BH>AS+BS ・・・ (2)
(1)と(2)から、AT+BT>AS+BS
以上より、PがQからの距離がSより大きいTにある時、L=AP+BPが大きくなる。
すなわち、PQ間の距離が大きくなるほどL=AP+BPが大きくなる。