適当なスレがなく、高校数学＋α程度の内容なのでここで質問させてください。

　微分積分学の教科書では高階導関数の章で、テイラーの定理
f(x) = f(a) + (f'(a)/1!)(x-a) + (f''(a)/2!)(x-a)^2 + ････ + (f^(n-1)(a)/(n-1)!)(x-a)^(n-1) + Rn ････ (#)
がいきなり示され、その証明が載っているのが普通です。証明自体は理解できるのですが、どうして(#)が湧き出たのかがよくわかりません。
　f'(x) に対して、平均値の定理を使うと
　　f'(x) = f'(a)+f''(c)(x-a)
　これを x→a で積分すれば
　　f(x)-f(a) = f'(a)(x-a) + f''(c)/2 (x-a)^2
　　f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(c)/2 (x-a)^2
　この式をf'(x)に適用すると
　　f'(x) = f'(a) + f''(a) (x-a) + f''(c)/2 (x-a)^2
　積分すれば
　　f(x)-f(a) = f'(a)(x-a) + f''(x)/2 (x-a)^2 + f''(c)/3! (x-a)^3
というように、以上の操作を繰り返せば(#)を推定することができますが、積分を使わないで(#)を導くにはどうしたらいいですか？