実数の構成は要らんけど、実数の特徴付け、
特に順序体が完備であるとはどういうことか理解するのは必要だと思う。
細かい細部を突っつく必要は無いけどね。

「任意の有界な集合は最小上界を持つ」は
高校生にとっては自明じゃないけど数学の至る所で使うし。
かといって公理扱いするのも天下り的で
「とにかく正しいから覚えろと言われても……」と思う学生が必ず出るから、
有界単調数列の収束性とかとの同値性の証明も必要だと思う。