佐武の線型代数学について質問なんですが、
p203から始まる補題の証明の1行目の「（Φ(e_i、f_j)）がTの底になれば（T2）は明白.」っていうのがどうも腑に落ちません。
例えば、VとWを2次元のベクトル空間とし、｛e_1、e_2｝をVの底、｛f_1、f_2｝をWの底とします。体KはRとします。
この場合、V×W→T のTはR上の4次元ベクトル空間ですよね？
Vの元はa_1・e_1 + a_2・e_2、Wの元はb_1・f_1 + b_2・f_2　（a_1、b_1、a_2、b_2∈R）と書けますよね？
Φは双一次写像ですから、
　Φ（a_1・e_1 + a_2・e_2 、b_1・f_1 + b_2・f_2）
＝(a_1・b_1)Φ（e_1、f_1） + (a_1・b_2)Φ（e_1、f_2） + (a_2・b_1)Φ（e_2、f_1） + (a_2・b_2)Φ（e_2、f_2）
と書けますよね？
”（Φ(e_i、f_j)）がTの底になれば（T2）は明白”とありますが、これは今の場合で言えば、
「｛Φ（e_1、f_1）、Φ（e_1、f_2）、Φ（e_2、f_1）、Φ（e_2、f_2）｝がTの底になれば、Tの任意の元は
　Φ(x、y）（x∈V、y∈W）
　＝Φ（a_1・e_1 + a_2・e_2 、b_1・f_1 + b_2・f_2）　　（a_1、b_1、a_2、b_2∈R）
　＝(a_1・b_1)Φ（e_1、f_1） + (a_1・b_2)Φ（e_1、f_2） + (a_2・b_1)Φ（e_2、f_1） + (a_2・b_2)Φ（e_2、f_2）
　によって表せる」
という意味ですよね？
それってありえなくないですか！？
TはR上の4次元ベクトル空間ですから、1・Φ（e_1、f_1） + 2・Φ（e_1、f_2） + 3・Φ（e_2、f_1） + 4・Φ（e_2、f_2）という元が確かに存在しますよね？
で、それもΦ(x、y）＝(a_1・b_1)Φ（e_1、f_1） + (a_1・b_2)Φ（e_1、f_2） + (a_2・b_1)Φ（e_2、f_1） + (a_2・b_2)Φ（e_2、f_2）の形で表せると言うのですから
a_1・b_1＝1　――①
a_1・b_2＝2　――②
a_2・b_1＝3　――③
a_2・b_2＝4　――④
となりますよね？
①、③よりa_2＝3・a_1、②よりb_2＝2/a_1ですが、
これらを④に代入するとa_2・b_2＝(3・a_1)・(2/a_1)＝6≠4となり矛盾しますよね！？
おかしくないですかこれ！？