初等的に証明できるけど、あえて高等な理論を使ってってことじゃないの

素数が無限にあること：ゼータ関数ζ(s)がs→1で発散、素因数分解の一意性
オイラーの多面体定理：ホモロジー群が分割の仕方によらないことと、球面の場合の計算
平方剰余の相互法則：類体論の二次体への適用
ヴァンデルモンド行列式、ヤコビの三重積公式：Kac-Moody Lie代数の指標公式

探せばもっといろいろでてくるだろう