Ｏを中心とする円周上に相異なる３点Ａ,Ｂ,Ｃをとり、△ＡＢＣの重心をＧで表すとき、点Ａから辺ＢＣに下ろした垂線上にＧがあるための条件を(↑ＯＡ)、(↑ＯＢ)、(↑ＯＣ)を用いて表わせ。

という問題について、
ＡからＢＣに下ろした垂線がＢＣの垂直二等分線となればよいので、すなわちＢＣの中点をＭとすると三点Ａ、Ｏ、Ｍは一直線上に存在する。
ゆえに求める条件は
(↑ＡＭ)＝k(↑ＡＯ) (k∈Ｒ)

とした上でこの式を変形して答えを出そうと思ったのですが、ｋが邪魔で答えに辿り着きません。
Ａ，Ｏ．Ｍが一直線上に並ぶことは題意を満たすための必要十分条件では無いのでしょうか？また、何が足りないのですか？