>>670
積閉集合Sに対して¬S:=R＼Sはイデアルをなすことを既知とする

s∈Sとr∈Rに対してsr=0とする
Sは積閉で0を含まないのでr∈¬S
従ってs^2∈Sかつ-r^2∈¬Sである
Rは可換なので
s^2-r^2=(s+r)(s-r)
であり、
s+r∈¬S⇔s-r∈¬S
[1]s+r,s-r∈¬Sのとき
s^2-r^2∈¬Sよりs^2∈¬Sで矛盾
[2]s+r,s-r∈Sのとき
s^2-r^2=s'∈Sより
s^2-s'=r^2
両辺にsを掛けて
s^3-ss'=sr^2=0
左辺はSの元だが右辺はSの元ではないので矛盾
以上よりSの元に零因子はない//