>>652

　x = exp(-t)　(t≧0)　とおく。

マクローリン展開により
　1/(x^x) = exp[t･exp(-t)]
　　　　　= Σ[n=1,∞) [1/(n-1)!] [t^(n-1)] exp[-(n-1)t],

　∫[0,1] 1/(x^x) dx = ∫[0,∞)｛Σ[n=1,∞) [1/(n-1)!] [t^(n-1)] exp[-(n-1)t]｝exp(-t)dt
　　　　= Σ[n=1,∞) [1/(n-1)!] ∫[0,∞) [t^(n-1)] exp(-n･t) dt
　　　　= Σ[n=1,∞) [1/(n-1)!] ∫[0,∞) [T^(n-1)] exp(-T) dT・{1/(n^n)}
　　　　= Σ[n=1,∞) [1/(n-1)!] Γ(n)・{1/(n^n)}
　　　　= Σ[n=1,∞) 1/(n^n),