K:コンパクト、f:K→R 連続
fは最大値を取らないとする
つまり、任意のx∈Kに対して、あるy∈Kが存在して、f(x)<f(y)となると仮定する
x∈Kに対して、V(x):={y∈K|f(x)>f(y)}とおく
V(x)=f^(-1)(-∞,f(x))なので、V(x)はKの開集合
仮定より、任意のxに対してあるyが存在して、x∈V(y)となるから、{V(x)}_[x∈K]はKの開被覆
Kはコンパクトなので、有限個のx[1],…x[n]が存在して、K=∪[k=1,n]V(x[k])
するとV(x)の定義から、f(x[i])のどれかが最大値になってしまうので矛盾