>>484
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....

与式は絶対収束なので、x=-R から x=R まで積分したのち R→∞ としてよい。

　(与式) = ∫_[0,∞) 2cos(x)/(1+xx) dx = J(1),
ここに 　
　J(t) = ∫_[0,∞) 2cos(tx)/(1+xx) dx,
はtの偶函数。

　J(t) - J "(t) = ∫_[0,∞) 2cos(tx)dx = 0,

∴　J(t) = J(0)exp(−|t|),
ここに
　J(0) = ∫[0,∞) 2/(1+xx) dx = [ 2arctan(x) ](x=0,∞) = π,

∴　J(t) = πexp(−|t|),
∴　(与式) = π/e,