>>29
(1)F=(-1+√5)/2はx^2+ax+b=0の解なので、F^2+2aF+b=0
∴ ((-1+√5)/2)^2+a(-1+√5)/2+b　←代入した
=(1/4)((-1+√5)^2+2a(-1+√5)+4b)　←1/4をくくりだした
=(1/4)(6-2√5-2a+2a√5+4b)
=(1/4)(6-2a+4b+2(-1+a)√5)=0　←もとの式の右辺=0

a≠1ならば、√5=(6-2a+4b)/(-1+a)　←1+a≠0と仮定したので、割れる
ところが、a,bが有理数ゆえ右辺は有理数であるが、√5は無理数なので、矛盾。従ってa=1である。　←背理法
このとき、b=-1　←上の等式をbについて解いた

((-1-√5)/2)^2+a(-1-√5)/2+b　←もとの方程式に(-1-√5)/2を代入、0になることを確かめる
=(1/4)((-1-√5)^2+2a(-1-√5)+4b)
=(1/4)(6+2√5-2a-2a√5+4b)
=(1/4)(6-2a+4b+2(1+a)√5)=0　←上で得たa=1,b=-1を代入した
よって、(-1-√5)/2もx^2+ax+b=0の解である。

(2) (1)の証明からa=1,b=-1だから、x^2+x-1=0は求める方程式(のひとつ)である　←(x-(-1-√5)/2)(x-(-1+√5)/2)を計算してもよい

(3) f(x)=x^2+x-1とおく。
f(0)=-1<0, f(1)=1>0なので、0<x<1に、f(x)=0となるxがある。　←整数部分の検討をつけてから確かめる。√5の値を使う必要はない
x>0でf(x)=0となるのは、x=Fのときなので、0<F<1。したがって、Fの整数部分は0。
Fは、F^2+F-1=0をみたすので、F^2=1-F　←もとの方程式を利用して、Fの二次以上の式はすべて一次式で書ける
∴ F^3=FF^2=F(1-F)=F-F^2=F-(1-F)=2F+1=√5-2