>>211
C[0,1]って記法、普通は閉区間[0,1]上の(実数値)連続関数の意味ですよね？
1.
閉区間上の(実数値)連続関数はどこかで最小値を持つ。
つまり任意の u∈S1 に対して u(a) = min(u([0,1]) となる点 a が存在する
条件より u(x) ≧ u(a) ＞ 0 である。
ε= u(a)/2 に取れば、u(x)±ε ＞ 0
よって Ball(u,ε) ⊂ S1、つまりS1 は開集合である

2.
任意の u∈not(S2) に対して、条件より u(a) ＜ 0 となる点 a が存在する
ε= |u(a)|/2 に取れば、u(a)±ε ＜ 0
よって Ball(u,ε) ⊂ not(S2)、つまりS2 は閉集合である