exp(x),exp(2x),exp(3x)が一次独立であることを示す って問題です.

自分なりの解法は
c1exp(x)+c2exp(2x)+c3exp(3x)=0とおいて、exp(x)でくくって
exp(x) (c1+c2exp(x)+c3exp(2x))=0
exp(x)>0 なので、 c1+c2exp(x)+c3exp(2x)=0
微分して、 c2exp(x)+2c3exp(2x)=0
さらに微分して、 c2exp(x)+4c3exp(2x)=0
よって
c2 2c3
c2 4c3
と
exp(x)
exp(2x)
の積が
0
0
になる。
このときの
c2 2c3
c2 4c3
の行列式が0でないといけないので2c2c3=0 よって、c2かc3が0となる・・・(略)と解きました

これで何か不備はありますか？
他の解法あれば教えてください