>>576
A^3=EからAは逆行列を持ち　A^2=A^(-1)　が成り立つ。
ケーリーハミルトンから　A^2-t*A+d=0（tとdの意味は承知とする）。
特に実数dはd^3=1を満たすのでd=1。
すると　A^(-1)-t*A+E=0　となるので両辺に　A　を掛けて　E-t*A^2+A=0。
A^2=t*A-Eを代入して　E-t*(t*A-E)+A=0、すなわち　(t^2-1)A=(t+1)*E。
これから　t+1=0　なら　A^2+A+E=0　となって証明は終わり。
もし、t+1≠0　なら　上式をt+1で割って　(t-1)A=E、明らかにt-1≠0ゆえ　A=(1/(t-1))*E
すると　t　の意味から　t=2/(t-1)。これから　t^2-t-2=0、即ち(t-2)(t+1)=0。
t+1≠0としていたので　t=2。すると　A=(1/(2-1))*E=E　となりAの仮定に反する。
よってt+1=0となり証明終わり。