実数体が順序性を持ち1/(1-0.1)=1.111…となるのはアルキメデスの公理による為であり
実数体と言えどもアルキメデスの公理を排除させられると1/(1-0.1)≠1.111…となる｡

一般的な辞書式順序では実数体上の小数展開に小数第∞位のHorner法による近似が与えられ､
その近似は1.111…<a<1/(1-0.1)なるaを排除する排中律ともなっている｡
だがこれでは0.999…は≠1のままである。そこにまたアルキメデスの公理を採用し､
極限を用いて0.999…=1として本来の実数体が得られる｡