>>888
k/2^(k+1) = k*2^(-k-1), 2 = x と置き換えれば、k*x^(-k-1) = -(d/dx)x^(-k)。
　　S(n,x) = Σ_{k=1,...,n} kx^(-k-1)
　　　　　　= -(d/dx)Σ_{k=1,...,n} x^(-k),
Σ_{k=1,...,n} x^(-k) は初項 1/x, 公比 1/x の等比数列の和なので、
　　( 1 - x^(-1) )Σ_{k=1,...,n} x^(-k) = 1 - x^(-n-1)
から、
　　Σ_{k=1,...,n} x^(-k) = (1 - x^(-n-1))/(1 - x^(-1))
　　　　　　　　　　　　　 = (x - x^(-n))/(x - 1).
これを x について微分すると、
　　{ (x - x^(-n))/(x - 1) }' = ( (x - 1)( 1 + nx^{-(n + 1)} ) - (x - x^(-n)) )/(x - 1)^2
　　　　　　　　　　　　　　　　　= ( - 1 + (n + 1)x^(-n) - nx^{-(n + 1)} )/(x - 1)^2,
となるから、
　　S(n,x) = ( 1 + (n + 1)x^(-n) - nx^{-(n + 1)} )/(x - 1)^2,
あらためて、x = 2 とすれば、
　　S(n,2) = 1 + (n + 1)(1/2)^n - n(1/2)^(n + 1),
　　　　　　= 1 + (n + 2)(1/2)^(n + 1),
よって lim_{n→∞} S(n,2) = 1。