b[n]=10^(2^n)+1とする。

b[n+1]=10^(2^(n+1))+1
=(b[n]-1)^2+1
=b[n]^2-2b[n]+2

f(x)=x^2-2x+2とすると
f^n(x) (n回合成 n≧1)はxの整数係数多項式で定数項は常に2
なぜなら(n=1のときは明らか)n>1のとき
(定数項)=f^n(0)
=f^(n-1)(f(0)) = f^(n-1)(2) = f^(n-2)(f(2)) = f^(n-2)(2)=…=f(2)=2
となるため。

したがって　m>nとすると
b[m]=f(b[m-1])=f^2(b[m-2])=…=f^(m-n)(b[n])
=(定数項が2となるb[n]の整数係数多項式)
∴(b[m],b[n])=(b[n],2)=1