>>435
根性論で行くと、
　　f(x) = Σ_{n=0} c_n x^n,
と変換して、各係数について、もとの微分方程式を満たすよう条件を与える。
f(x) - f'(x) = Σ_{n=0} ( c_n - (n + 1)c_{n+1} )x^n
　　c_0 - c_1 = 1,
　　c_1 - 2c_2 = 0,
　　c_2 - 3c_3 = 1,
　　c_n - (n+1)c_{n+1} = 0, (n>2),
ここで見通しを良くするために、c_n = (a_n)/n! とすると (はじめからこうした方がいいけど)、
　　a_0 - a_1 = 1,
　　a_1 - a_2 = 0,
　　a_2 - a_3 = 2,
　　a_n - a_{n+1} = 0, (n>2),
より、
　　a_3 = a_4 = ...,
　　a_2 = a_3 + 2,
　　a_1 = a_2 = a_3 + 2,
　　a_0 = a_1 + 1 = a_3 + 3,
を得る。f(x) を計算すると、 a_{n≧3} = a_3 の項でくくれて、
　　f(x) = Σ_{n=0} c_n x^n
　　　　　= Σ_{n=0} a_n x^n/n!
　　　　　= 3 + 2x + x^2 + a_3Σ_{n=0} x^n/n!,
　　　　　= 3 + 2x + x^2 + Ce^x,
となる。ただし、C = a_3 は任意定数。
C = 0 のとき、f(x) = x^2 + 2x + 3 で、
　　f(x) - f'(x) = (x^2 + 2x + 3) - (2x + 2)
　　　　　　　　　= x^2 + 1,
となって条件を満たしていることが確認できる。
また、(e^x)' = e^x だから一般の C についても同様であると分かる。