(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5を因数分解せよ。

原式=(a-b)(b-c)(c-a)[A(a+b+c)^2+B(ab+bc+ca)]
左辺　-5a^4b
右辺　-Aa^4b
すなわち　A=5

A=5より　[]内右項は2A+B
左辺　10a^3b2
2A+B=10より、B=0　で不正解になります。

解答編は
原式=(a-b)(b-c)(c-a)[A(a+b+c)^2-B(ab+bc+ca)]
でAを求めたあと
[]内右項を[(-2A-B)+A]a^3b^2としています。

解答編で交代式を作るとき、対称式の係数が-Bになる理由がわかりません。
また[(-2A-B)+A]の+Aがどこからやってきたものかわかりません。

よろしくお願いします。