>>366
既に他の方が説明しておられるので蛇足に過ぎないが

漸化式の右辺の (1/3)^n が邪魔（これがなければ等比数列の漸化式）なので
これをうまく両辺に割り振って等比型の漸化式を作る

と俺は解釈している
「割り振る」ので邪魔者とよく似た式が出てくるのは必然
これで等比型の式の形を決めておいて係数を決定するわけ
「漸化式とよく似た式を引く」でもできるけど
邪魔者が定数でないときは最終的な形のほうから式を作っていったほうが
俺の経験上都合がいいことが多い