自分でいくら考えても分からなかったのでどうか助けてください

数列の極限を求める途中で漸化式を使いました

a(n+1)=(an/2)+(1/3)^n...①
a1=1

で定義されている数列を考えます
x=(x/2)+(1/3)^nの漸化式の解から自分は
F(n+1)=1/2F(n)のF(n)は1/2(an+2*(1/3)^n)
としたのですがそれではないようです。
本には①の第二項からFn=an+(1/3)^nと推測でき、結果として1/2(an+6*(1/3)^2)となるようです

なぜそのように推測できるのか、またどうして6になるのかが分かりません
よろしくお願いします