lim[n→∞]n!/n^n=0の証明がしたいんですが中々できません。
感覚的に0になることは分かるんですがはさみ打ちで証明したいです。

0<n!/n^n<(1/2)^(n-1)みたいな不等式があればいいんですが
この場合数学的帰納法で成り立たない事が分かりました。

他にも

n!/n^n=より
(n/n)((n-1)/n)((n-2)/n)<((n-1)/n)^(n-1)
という不等式は成り立つんですが
limを取ると右辺は1/eになってしまいます。

どうすればいいですか？