求める確率をP(n)とする。
それぞれの辺を時計回りにA0,A1,A2,…,A{n-1}とする。
A0を必ず選ぶと考えてもよい。残りの2辺をAi,Aj　(i<j)とする。
i,jの取り方は1〜n-1から2つ選ぶ組合せであるから C[n-1,2]=(n-1)(n-2)/2
これらを延長した3直線の作る領域のうち、
正n角形を内部に含むものが存在するための必要十分条件は
n/2<j<i+n/2<n　(∵図より。三角形を作る条件を考えればよい)

i)nが偶数のとき
n=2mとおけて
m<j<i+m<2m
⇔i<m かつ j=m+1,m+2,m+3,…,i+m-1
これを満たす(i,j)の組は全部で
Σ[i=1,m-1](i-1)=m(m-1)/2-(m-1)=(m-2)(m-1)/2=(n-4)(n-2)/8
よってP(n)=((n-4)(n-2)/8)/((n-1)(n-2)/2)=(n-4)/(4(n-1))

ii)nが奇数のとき
n=2m+1
m+1/2<j<i+m+1/2<2m+1
⇔i≦mかつj=m+1,m+2,m+3,…m+i
これを満たす(i,j)の組は全部で
Σ[i=1,m] i=m(m+1)/2=2m(2m+2)/8=(n-1)(n+1)/8
よってP(n)=((n-1)(n+1)/8)/((n-1)(n-2)/2)=(n+1)/(4(n-2))

以上より、求める確率は
nが偶数のとき (n-4)/(4(n-1))
nが奇数のとき (n+1)/(4(n-2))