高校数学の質問スレPART350
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0001１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 13:17:30.10高校数学の質問スレPART349
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1363940337/
【【【【【質問者必読！】】】】】
まず>>1-3をよく読んでね
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・970くらいになったら次スレを立ててください。
0002１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 13:17:55.60(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3
a^3±b^3=(a±b)(a^2干ab+b^2)
√a*√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、 √(a^2b)=a√b [a > 0、b > 0]
√((a+b)±2√(ab))=√a±√b [a > b > 0]
ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β)=(-b±√(b^2-4ac))/2a [２次方程式の解の公式]
a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R [正弦定理]
a^2=b^2+c^2-2bccos(A) [余弦定理]
sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b) [加法定理]
cos(a±b)=cos(a)cos(b)干sin(a)sin(b)
log_{a}(xy)=log_{a}(x)+log_{a}(y)
log_{a}(x/y)=log_{a}(x)-log_{a}(y)
log_{a}(x^n)=n(log_{a}(x))
log_{a}(x)=(log_{b}(x))/(log_{b}(a)) [底の変換定理]
f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h [微分の定義]
(f±g)'=f'±g'、(fg)'=f'g+fg'、(f/g)'=(f'g-fg')/(g^2) [和差積商の微分]
0003１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 13:18:15.27■ 足し算/引き算/掛け算/割り算（加減乗除)
a+b → a 足す b （足し算) a-b → a 引く b （引き算)
a*b → a 掛ける b （掛け算) a/b → a 割る b （割り算)
■ 累乗 ^
a^b a の b乗
a^(b+1) a の b+1乗
a^b + 1 （a の b乗） 足す 1
■ 括弧の使用
a/(b + c) と a/b + c
a/(b*c) と a/b*c
はそれぞれ、違う意味です。括弧を多用して、キチンと区別をつけてください｡
■ 数列
a[n] or a_(n) → 数列aの第n項目
a[n+1] = a[n] + 3 → 等差数列の一例
Σ[k=1,n]a_(k) → 数列の和
■ 積分 （ "∫"は「せきぶん」「いんてぐらる」「きごう」「すうがく」などで変換せよ（環境によって異なる）．∮は高校では使わない）
∫[0,1] x^2 dx = (x^3)/3|_[x=0,1]
∫[0,x] sin(t) dt
■ 三角関数
(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1
cos(2x) = (cos(x))^2 - (sin(x))^2
■ ベクトル
AB↑ a↑
ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V)
（混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．)
■行列
（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
（行（または列ごと）に表示する． 例）M=[[1,-1],[3,2]])
■順列・組合せ
P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, H[n,k]=nHk
0004１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 13:18:32.84入力例
定積分
integral[2/(3-sin(2x)),{x,0,2pi}]
極方程式
PolarPlot[2/sqrt(3-sin(2t)), {t, 0, 2Pi}]
無限級数
sum (n^2)/(n!) , n=1 to infinity
極限
limit(t*ln(1+(1/t^2))+2*arctan(t))) as t->infinity
0005１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 13:42:18.57単位円は原点から距離が１の点の集合である【単位円の幾何学的定義】
座標平面において、原点からある点(a,b)まで距離は(a^2+b^2)である【ユークリッド距離の定義】
従って、単位円上の点(x,y)はどれも(x^2+y^2)=1を満たす
従って、単位円上の任意の点(x,y)は（両辺を二乗して）x^2+y^2=1を満たす
ここまで同値変形しかしていないのでx^2+y^2=1が円の方程式である
0006１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 14:21:48.04ってどう計算すればいいんですか？
分母が分数になってよくわかりません
0007１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 14:26:30.30という問いなのですが、x=tとして
f(t)=-1/2+∫[0,1]2tf(t)dt
右辺の積分を
∫[0,1]2tf(t)dt=α・・・①
として
f(t)=-1/2+α
それから①より
α=∫[0,1]{2t(-1/2+α)}dtとして計算すると、α=-1/4+αとなってしまいます
変数のxを別の変数であるtにしてしまったことが悪いのかな、となんとなく思うのですが、この方法でどうしていけないのかいまいち分かりません。
よろしくお願いします
0008１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 14:32:43.42すいません
＞従って、単位円上の点(x,y)はどれも√(x^2+y^2)=1を満たす
＞従って、単位円上の任意の点(x,y)は（両辺を二乗して）x^2+y^2=1を満たす
のところでなんで両辺二乗するんですかね？
0009１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 14:37:18.75しない方キレイだと思う、二乗するのが意地でも嫌、等ならしなくても数学的には構わない
ただし、人格は疑われるだろう
0010１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 15:29:39.65f(x)においてxは変数だが積分の中では定数扱い
それを変数として扱えば矛盾が起きても不思議ではない
0011１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 15:45:41.05∫の中にあるxはtの関数ではないんでしょ？
それなら、xは定数とみなすんじゃないかな？
f(x)=x∫[0,1]f(t)dt +∫[0,1]t*f(t)dt -1/2
と変形すれば、定積分は定数だから、
f(x) = ax + b
これを元の式に当てはめてみると、
f(x) = -1/2 +∫[0,1](x+t)(at+b)dt
= -1/2 +∫[0,1](at^2 + (ax+b)t + bx)dt
tの積分であることに注意して、さらに、
= -1/2 + [ at^3/3 + (ax+b)t^2/2 + bxt][0,1]
= -1/2 + a/3 + (ax+b)/2 + bx
= (a/2+b)x + (a/3 + b/2 - 1/2)
これがax+bなのだから、
a=(a/2+b)、b=(a/3 + b/2 - 1/2)として連立方程式を解くと、
a=6、b=3
つまり、f(x)= 6x + 3 であることが解った
0012１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 15:46:49.57なんとなくわかりました。
どうもありがとう！
0013１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 15:49:45.621600年頃の数学は[3]あたりで済ましていた。
>>8の質問者のように「なんで両辺二乗するんですかね？」
[3]→[4]へは、実は「先人たちの知恵」
私たち凡人には考え付きそうにもないような発想
今現在の私たち高校数学にとっては
特に何も目新しいものの変形でもなさそうに見えるけどね…
この両辺二乗し「標準形」にする変形により
円のみならず楕円、放物線、双曲線などをより統一的に調べることが
可能になった。
0014１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 16:16:45.63あんた頭良すぎ
0015１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 16:18:38.52今で言う大学や大学院でみんな集まり
[3]をいかにして変形するか？
と何日も何ヶ月も、あーでもない、こーでもない、どないすんねん？
（注：当時の欧州の数学者は大阪弁ではないｗ）
と真剣に議論してた。
何ヶ月後、様々な討論のすえ
「両辺二乗したら、どうかな？」と秀才の人が つぶやいた。
（注：当時の欧州の数学者はツイッターはない）
「おお！いいね それ」
（注：当時の欧州の数学者はFacebookもない）
ゲームでいう裏技みたいなものを発見したようなものだ。
この発想以降、メジャーな変形としてみんな使うようになった。
0016１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 16:18:48.140017１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 16:24:12.60ワロタ
0018１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 16:28:43.22x^2+y^2=1
⇔x*x+y*y=1
⇔(x+x+・・・+x)+(y+y+・・・・+y)=1
0019１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 16:35:18.21発想としては悪くはないと思う。
何日も何ヶ月も真剣に議論してた数学者のオッサンたちの中の一人が
そのような変形 (x+x+・・・+x)を考えたこともあったかも
0020１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 16:43:05.81こんな感じで、昔の科学者（数学者、物理学者、化学者など）の伝記をやってる。
もちろん当時はインターネットもない時代だから
手紙でやり取りしてたそう。
（オッサンたち同士、文通かよｗ）
ケンカもよくあったそうだ。
今で言う炎上みたいなものか？
ここらへん今とそう対して変わらんなｗ
0021１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 16:54:09.36じゃあ聞くけど宇宙の法則を表すのに
なんで掛算（たとえばe=m*m*c）までであらわすことができるの？
グラハム数で出てくるタワー表記とかだと
3^3=3↑3と定義して
以下
3^3^3=3^(3^3)
3↑↑3=3↑3↑3とか
累乗のさらに上を考えたりするよね？
0022１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 16:55:18.370023１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 16:57:41.500024１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 16:58:35.83ググれよ
0025１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 16:59:35.850026１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 17:00:13.62物理版ですら煙たがられる内容かも
0027１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 17:00:46.450028１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 17:02:02.16ってことは全部足し算でできるってこと？
ペアノの公理だっけ？
あれで全部いけると？
0029１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 17:02:43.200031１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 17:05:08.63全部って何？
整数上の関数は非可算個あるから、「足し算・掛け算から帰納的に定義される関数」だけで全てを尽くすことはできないけども
0032１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 17:32:26.58ってのはe=mc^2を含む物理法則全部ってこと
あなたの2行目以下は私には理解不能
0033１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 17:33:47.53わかんねえな
0034１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 17:54:16.55何より、測定された数値をよく見知った関数で近似しようと試みるのは当然
物理法則が近似であるという大前提を失念していると思われる
0035１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 18:08:49.56ってどう計算すればいいんですか？
分母が分数になってよくわかりません
0036１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 18:14:45.19全ての物理法則は実験の結果に基づく仮定であり
常に新しい実験によって覆される可能性がある、だっけ？
0037１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 18:23:25.13使うのが適当であるような物理法則が仮に存在するとしても
それを発見するのは困難でしょうな。
振る舞いが極端すぎて気付けない。
0038１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 18:28:03.89お前4時間も待てないのかよ…
0039１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 18:28:47.7710の倍数でない自然数なら、例えば100000100002 みたいに0が大量にあっても、何倍かすれば
どの桁も0でない自然数にすることは可能でしょうか。
それとも、何倍してもどこかの桁に0が入ってしまうような自然数が(10の倍数以外に)あるでしょうか。
0040１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 18:32:47.00SF小説に出てくる宇宙を作った神が存在しうるかみたいな
はなしですか？
0041１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 18:35:28.140042１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 18:40:51.630043１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 18:42:07.62そんなことが言いたいわけではない
0045１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 19:00:41.70たぶん可能だろうとは思うが
例えば下の桁から見ていってはじめて0が現れるのが1000の位だとすると
元の数に1001をかけ合わせると1000の位の0が消えるから
それを元の数と置き換えて同じ事を考える
もちろん1001倍すると新しく0が現れることも多いが
確実に一番下の桁の0を潰せる効果のほうが大きいのではないかと
ちゃんと考察するのはめんどいが
0046１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 22:23:41.81この問題がわかりません。
なぜαにmを代入するのでしょうか。
mにαを代入してはいけないのでしょうか。
流れ的にmに1を代入してるならば、mにαを代入した方が自然だと思うのですが
0047１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 22:40:47.39mを決めたいのでαを排除してmだけにしている
0048１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 22:55:49.00俺がやるなら>>46流
というか、それ以前にこの本の解答ヘン
0049１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 23:19:52.95小学校に戻って分数の割り算を勉強する
0050１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 23:34:07.94mに1を代入したのはたまたまαが関係してなかっただけ
0051１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 23:35:58.51ヘンって、どんなとこ？
0052１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 23:44:34.26>>46 vs >>47 とかいう話でなくて（どっちでもいい）
ラストの「このとき、(1), (2)は…」のところ
αを共有解としているのだから、(1), (2) が共有解をただひとつ持つかをチェックしても意味なし
0053１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 23:50:48.61必要条件としてm=-1を導いたのが「このとき」の直前まで。
「このとき」以下は、m=-1が問題の要求に対する十分条件であることの確認。
十分意味はある。
0054１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 23:52:57.57素で尋ねるけど、何に対する十分条件？
0055１３２人目の素数さん
2013/04/10(水) 23:57:35.440056１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 00:02:00.42m=-1のときも、やはり同じように確認しておかなければならない。
0057１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 00:05:37.40xをαに変えただけという言い訳が通用するわけない
xは各々の方程式の未知数、αは共有解
0058１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 00:15:54.530059１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 00:16:56.370060１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 00:17:26.67> xは各々の方程式の未知数、αは共有解
ただの名辞の問題。この記述は無意味。
0061１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 00:25:28.570062１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 00:26:44.67mの値を求めよ。
さ、どうやる？
>>46の解と遣り方は同じだよ。
006346
2013/04/11(木) 00:26:49.77僕、問題の考え方自体を理解できていないので
解くために必要な思考の流れを誰か解説してくれませんか
0064１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 00:29:37.10lim{n→∞}(だめだこりゃ)^n
0065１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 00:34:38.05次のようなxとmの連立方程式を解け、但し、mの値に対して、xの値は一つに定まるものとする。
ということ。
0066１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 00:38:03.16あれ 小学校で分母に分数がある計算ってやったっけ
0067１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 00:41:17.42f(x)=x^3+x^2 f'(0)
という問題ですが普通にxに0を入れるだけでいいんでしょうか？
0068１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 00:47:43.19両辺を微分してからx=0を代入するとf'(0)の値が求まる。
0069１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 02:37:59.20普通の分数の分母・分子が、さらに分数の形になっているものを
繁分数（はんぶんすう）といい
この形になって「は？なんやコレ、わけ分かんねぇ…」と
つまずいている高校生は意外と多いらしい
でも分かってしまえば、実に何でもない
0070１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 03:00:05.77www.e-kyozai.jp/cgi-bin/suguru/semi/sf3_9/kiso/s3_9_1.html
複雑な分数(三階建て、四階建て)と繁分数
www8.ocn.ne.jp/~shama/suugaku3/alldeta/4011.html
と、まぁ、ここまでは良いが
普通の３なり７なりの数値が、高校になると…
いきなり文字式の「a」や「x」や「sin(x)」が突如として出現し
「は？なんやコレ、わけ分かんねぇ…」と
意味不明になる高校生（女子に多し）も実に多い（らしい）
0071１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 07:34:42.44これのa_nって求めることできますか
逆数を取ると1/a_(n+1)=a_n+(1/a_n)+2ですがここから綺麗にするのは難しいです
0072１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 08:23:24.72見た感じ定石から外れてる数列は、最初のいくつかを実際に計算して、一般項にアタリをつけて帰納法で証明するのがやりやすい場合が多い
0073x^2+y^2=1
2013/04/11(木) 10:00:19.43「数学がトートロジーなのは当たり前」
って言ってたけど
ゲーデルの不完全性定理で
「矛盾を含まない公理系からは意味のある定理は何もうみだすことができない」
って言ってた気がするんだけど
これってどうなんですかね？
0074１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 11:22:05.57数学がトートロジーじゃなく、作品としての公理定理体系がトートロジーだが
どのような定理を作るかさえ創造である
バカがごっちゃにしてバカを言ってるだけ
0075１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 11:37:55.38①|5|
②|-5|
③|3-3√2|
と問題集のほんの一枠にあるんですが、習った覚えがないというか、
始めてみる問題形式なので解き方が分からず答えを見ても納得がいきません。
低レベルですみません…教えてください。
0076１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 11:39:20.18うろ覚え≒でたらめ
0077１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 11:40:28.31教科書に絶対値の定義は書いてないの？
0078１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 11:53:02.83絶対値のことか。思い出しました。ありがとう。
0079１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 12:23:45.680080１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 15:15:49.15というか前スレの話題引っ張りすぎだろ
0082１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 16:12:18.270083１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 19:55:41.92-2x+3y=-3
5x-9y=2
この連立方程式が解けない
0084１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 19:57:47.930085１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 20:02:17.16解けないけどホントに解なしでいいんですか？
0086１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 20:12:40.29どういう意味？
0087１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 20:12:55.65解くと「解なし」という答えになる
0088１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 20:31:27.04感覚的に0になることは分かるんですがはさみ打ちで証明したいです。
0<n!/n^n<(1/2)^(n-1)みたいな不等式があればいいんですが
この場合数学的帰納法で成り立たない事が分かりました。
他にも
n!/n^n=より
(n/n)((n-1)/n)((n-2)/n)<((n-1)/n)^(n-1)
という不等式は成り立つんですが
limを取ると右辺は1/eになってしまいます。
どうすればいいですか？
0089１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 20:31:39.49感覚的に0になることは分かるんですがはさみ打ちで証明したいです。
0<n!/n^n<(1/2)^(n-1)みたいな不等式があればいいんですが
この場合数学的帰納法で成り立たない事が分かりました。
他にも
n!/n^n=より
(n/n)((n-1)/n)((n-2)/n)<((n-1)/n)^(n-1)
という不等式は成り立つんですが
limを取ると右辺は1/eになってしまいます。
どうすればいいですか？
0090１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 20:38:43.88n!/n^n < 1/n
0091１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 20:39:15.00> n!/n^n=より
なにこれ？
0092１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 20:47:11.32n!/n^n= (n/n)((n-1)/n)((n-2)/n)・・・・・・(1/n)となり
((n-1)/n)>((n-2)/n)・・・・・・・・・・>(1/n)より
(n/n)((n-1)/n)((n-2)/n)・・・・・・(1/n)<((n-1)/n)^(n-1)
という不等式は成り立つ。です。
0093１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 20:51:44.040094１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 20:54:16.670095１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 20:57:11.89log(a_n)=Σ[1,n]logk - nlogn ≒ ∫[1,n](logx)dx - nlogn = -n
適当に絵を描けば何かひねくり出せるだろ
0096１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 21:02:15.220097１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 21:07:38.25ありがとうございます。
一つ一つ1より大きいとすればいいんですか。
何でこんな難しく考えていたんでしょうか.....
0098１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 21:10:23.64グラフは書けるのですがそこから先がわかりません
0099１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 21:13:54.020100１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 21:14:42.430101１３２人目の素数さん
2013/04/11(木) 21:17:32.67■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています