>>7
∫の中にあるxはtの関数ではないんでしょ？
それなら、xは定数とみなすんじゃないかな？

f(x)=x∫[0,1]f(t)dt +∫[0,1]t*f(t)dt -1/2
と変形すれば、定積分は定数だから、
f(x) = ax + b
これを元の式に当てはめてみると、
f(x) = -1/2 +∫[0,1](x+t)(at+b)dt
= -1/2 +∫[0,1](at^2 + (ax+b)t + bx)dt
tの積分であることに注意して、さらに、
= -1/2 + [ at^3/3 + (ax+b)t^2/2 + bxt][0,1]
= -1/2 + a/3 + (ax+b)/2 + bx
= (a/2+b)x + (a/3 + b/2 - 1/2)

これがax+bなのだから、
a=(a/2+b)、b=(a/3 + b/2 - 1/2)として連立方程式を解くと、
a=6、b=3
つまり、f(x)= 6x + 3 であることが解った