とりあえず wikipedia の英文記事 (http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#History) によると、

ラプラス変換は、ラプラスの確率論の仕事の中で使われている類似の変換 (z 変換) に因む。
今日一般に用いられるラプラス変換とは 19 世紀に用いられたものに由来するが、
類似の変換は 1744 年のオイラーによって、
　　z = ∫ X(x)exp(ax) dx,　z = ∫ X(x)x^A dx,
といった形の微分方程式の解として与えられた。
ラグランジュもオイラーよろしく、確率密度関数の積分について、
　　∫X(x)exp(-ax)a^x dx,
という形で表される積分を研究している。
これらの積分にラプラスが最初に目を向けたのが 1782 年で、オイラー流に方程式の解を求めるのに使った。
オイラーに始まる積分をもってこれをラプラス変換論の興りと考えることもできるけど、
今日用いられるような使い方が最初に発見されたのは、1785 年のこと、ラプラスは、
ある積分形の解をただ探すという視点からは離れて、
　　∫x^s φ(x)dx,
というメリン変換と類似の変換を、あらゆる微分方程式に対し施し、
変換された方程式の解を探すということを始めた。ラプラス変換についても同様にし、
その性質を調べその価値を認めた。
ラプラスはおそらく、フーリエによる拡散方程式の解法 (フーリエ級数) を知っていて、
フーリエが有限空間での拡散に対してのみ自身の方法を用いたのに対し、
1809 年、ラプラスは無限空間での拡散方程式に対しラプラス変換を使って解を発見した。

みたいな感じのことが書いてある。