定理2.1.7　L　が体　K　の有限次代数拡大体であれば,　K　の上の適当な有
限変数の多項式環　K[x_1,…, x_n]　とその極大イ　デ　ア　ル　m　と　に　よ　り, L　は体
K[x_1,…, x_n]/m　と　K　同型になる,　m　の生成元　f_1,…, f_n（ｎ　個）　を次のよう
にえらぶことができる:
( i ) f_i∈K[x_1,…, x_i]　でf_iはx_iについてモニック.
( ii ) f_1,…, f_(i-1) で生成した　K[x_1,…,x_(i-1)]のイデアル　m_(i-1)は極大イデ
アルであって,　体　L_i=K[x_1,…,x_(i-1)]/m_(i-1)　における　x_jの剰余類を a_j　と
すれば,　各f_i(a_1, …,a_i(-1),x_j)　は　L_i上既約多項式である.
[証明]L=K(b_1.…,b_n)となる元b_1.…,b_nがある.　b_1のK上の最小多項式f_1(x_1)
をとる.　一般に,　f_i=f_i(x_1,…,x_i)は,　b_iのK(b_1,…,b_(i-1))の上の最小多項式g_i(x)
をとり,　xをx_iに, g_iの係数に現れる各　b_j　を x_jにおきかえて得られる多項式と
する　(f_i　は,　x_iについてモニック, f_i(b_1,…b_(i-1),x_i)　がb_i　の(L^*)_i =K( b_1,…,b_(i-1))
上の最小多項式であるもの　といえばよい). そうすると, K[x_1,…x_i]/m_iをK[a_1,…,
a_(i-1)][x_i]の準同型と考えれば, その核は　ｆ_i( a_1,…,a_(i-1),x_i)　で生成されたイデアル
である.　したがって, iについての帰納法で, K[a_1,…,a_(i-1)]は体であり,　K[a_1,…,a_i]
とK[b_1.…,b_i]とが　K同型（a_i→b_i）であることを知る.　　　（証明終）
写しました。