それぞれに任意の自然数が書かれたカードが有限枚数だけ箱の中にあるとする。
手元に無数の白紙のカードがあるものとする。

（手順）
・箱の中からカードを一枚取り出す。
そのカードに書かれた数字をkとする。
・ｋ＝１のとき、何もしない。（箱の中のカードは１枚減少）
・ｋ≠１のとき、何枚かのカードにそれぞれ１からｋ−１までの任意の数字を書いて箱の中に入れる。

最初に与えられた箱の中のカードがどのような状態であっても
この手順を繰り返すと有限回で箱は空になることを数学的帰納法で示せ。

なんとなく正しそうなのですが、厳密な証明の方法が分かりません。
とっかかりの部分だけでも教えて下さい。