N を自然数とする。
a を N と互いに素な自然数とすると、a^k≡1 (mod N) となる自然数 k が存在する。（これは認めることにする）
このような k のうち最小のものを o(a) と書くことにする。(order の頭文字。日本語では位数)
このとき、有限アーベル群の基本定理で分かることは以下の通り。
 
①
ある自然数 a[1],…,a[n] が存在して、以下を満たす。
　N と互いに素な任意の整数 b に対して、
　b≡a[1]^m[1]*a[2]^m[2]*…*a[n]^m[n]　(mod N)　(ただし、0≦m[i]<o(a[i]))
　となる m[1],…,m[n] が一意的に存在する。
 
②
①で、全ての o(a[i]) が何らかの素数のべき乗であるように a[1],…,a[n] をとることができる。
この場合、o(a[1]),…,o(a[n]) は順序の差を除いて一意的。
 
③
①で、o(a[1]) は o(a[2]) の約数、o(a[2]) は o(a[3]) の約数、…、o(a[n-1]) は o(a[n]) の約数となるように a[1],…,a[n] をとることができる。
この場合、o(a[1]),…,o(a[n]) は一意的。