>>768
貴方がmaxは最大元を意味しなければならない、と考えるのがおかしい。
圏論のepiが集合の写像としての全射でないといけないか、というとそうではないのと同様。

また、maxには圏論の慣用的な術語ではないから、質問者の独特の用法と考えたほうが良い。