なんかすごい誤解されてる気がするけど俺が言ってるのは、

教科書はできるだけ薄い方が（個人的に）読む気が湧くから
一般論をやったあとに特別な場合として距離空間をやったほうが議論とスペースの節約になる

かと言って、一般論が終わるまでR^nとかマハラノビス距離を入れたR^nとか
距離d(f, g)=∫[a, b] |f-g|dxを入れた関数環とかが
位相空間の例になっているということに気付かないのも間抜けすぎるから
（そうは言っても位相の定義だけ挙げても初学者の大半にとっては
何のための概念なのか意味不明なはず）
位相空間の極めて重要な例として、距離空間が位相空間になっていることだけは
距離空間の話になってから証明するよりも、一般論の段階で示した方が
初学者にとってイメージが湧きやすい、と言っている。
専門家の研究の話などはしてない。