距離空間だけを特別視して一般論より先にやるなら、開集合の公理を確かめる必要はない
これこれこういうものを開集合という、と(結果的に一般論と一致していることを)定義として採用すればいいだけだ
もちろん、距離空間と一般の位相空間との難易度差なんてほとんどないから、このくらいのことは自分で確めればいいが

一般論をやったあとに距離空間をやるのなら、位相の生成とか基底を必ずやるのだから、
「開球全体で生成される位相を入れる」と一行書けば済む話であって、前に書いたことと全く同じ証明を再掲するのがなぜ「フレンドリー」になるのか分からない

そりゃいろんな本があるから、距離空間を重点的に扱った本もあるだろうが、>>330が具体的にどういう論理構成を想定しているのかが分からない