>>469のp.29-31あたりを翻訳してみた
ただ、全てやるのは大変だから要所のみで

　e^4 が無理数であることを証明するために,
e^4 = a/b が有理数であると仮定すると, b e^2 = a e^-2 と書ける.
（中略）
最初に, 十分大きな任意の n ではなく, 十分大きな2のべき乗 n = 2^m をとる.
（中略）
それから, Legendre's theorem(p.8参照)の特殊な場合である以下の補題が必要になる:
任意の n >= 1 に対して, 整数 n! が素因数として2を少なくとも(n - 1)回含む ⇔ n = 2^m.
（中略）
さて b e^2 = a e^-2 に話を戻そう. ここから次の式が見つかる.
　b * ( n! / 2^(n - 1) ) * e^2 = a * ( n! / 2^(n - 1) ) * e^-2　…(1)
そして, 次の級数を代入する.
　e^2 = 1 + 2/1 + 4/2 + 8/6 + ... + 2^r / r! + ...
　e^-2 = 1 - 2/1 + 4/2 - 8/6 + ... + (-1)^r 2^r / r! + ...
r <= n のとき, 両辺に整数の項が次の形で手に入る.
　b * ( n! / 2^(n - 1) ) * 2^r / r!　および　(-1)^r * a * ( n! / 2^(n - 1) ) * 2^r / r!
（中略）
r >= n + 1 のとき, 級数は次の形で手に入る.
　2 b (2 / (n + 1) + 4 / (n + 1)(n + 2) + 8 / (n + 1)(n + 2)(n + 3) + ...)
および
　2 a (-2 / (n + 1) + 4 / (n + 1)(n + 2) - 8 / (n + 1)(n + 2)(n + 3) + ...)
これらの級数は n を十分大きくとると, 4 b / n および -4 a / n に収束する,（中略）.
十分大きな n = 2^m に対して, (1)の左辺はある整数より「ほんの少し」大きくなり,
右辺は「ほんの少し」小さくなる―これは矛盾である!　　　　　　　　　　　　　　　　　　□