◇複素関数 tan z の(１)各特異点の種類(極か真性特異点か)．(２)留数，(３)Laurent展開の主部を求めよ．

自分なりに色々調べたり他の問題と比較したりして解いてみた結果，以下の様になったのですが今一自信がありません．
誤りがあった場合，その箇所の指摘をお願い致します．

(1) tan z ＝ sin z / cos z である．tan z の特異点は分母のcos z の零点であるz = (-1/2+n)π であり，
分母の cos z を一回微分すると -sin z となり，z = (-1/2+n)πは-sin z では零点ではない．よって１位の極である(真性特異点ではない)

(2) g(z) = cos z , h(z) = sin z とすると tan z = { h(z) / g(z) }
(1)が合っていると仮定すると tan zは1位の極であるから Res { tan z : (-1/2+n)π }
= Res{ h(z) / g(z) ; ( -1 + n/2 )π }
= h( -1/2+n ) / ( d/dz )g ( -1/2+n )
= sin ( -1/2+n )π / -sin ( -1/2+n )π
= -1
よって留数 -1

(3),(2)が合っていると仮定すると(2)で求められた -1 という数字は tan z のLaurent展開に置ける { z - ( -1/2+n ) }^(-1) πの係数と等しくなる筈である．
よって，求めるLaurent展開の主部は -1 / z -( -1/2+n )π