問題：
ΦがR^Nの上の加法的(B_N)集合関数、fが集合E∈B_Nの上のB_N-可測関数で∫_{E}|f|dV_Φ<∞とすると、
任意のε>0に対して、或る有界集合の外では恒等的に0になるようなR^Nの上の連続関数f_εで
|∫_{E}fdΦ-∫_{E}(f_ε)dΦ|≦∫_{E}|f-f_ε|dV_Φ<εとなるものが存在する。

注：B_NはR^NのBorel集合族、V_ΦはΦの全変動( V_Φ := |sup_{A⊂E}Φ(A)| + |inf_{A⊂E}Φ(A)| )
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この証明がわかりません（1つ目の不等式はわかりますが念のため書いておきました）。
V_ΦがLebesgue測度について絶対連続なときは、まず全ての点でf≧0と仮定して単調増加なある単関数列f_nで近似し、
十分大きくとったnに対してf_nを別の連続関数で近似するという形で証明できたのですが、
V_Φが特異な場合にはうまくいきません。どなたかご教示ください。