1^2+2^2+3^2+…+n^2 = 納k=1,n]k^2 = n(n+1)(2n+1)/6という公式がある
詳しく知りたいなら「n(n+1)(2n+1)/6」あたりでググればいくつか出てくるはず

算数的な解き方ってどうやるんだ？
http://quiz-tairiku.com/math/a5.html　や
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1130494031
あたりにいろいろあるけれど…