直接ガリガリ記述していったらえらいことになってきた

a≠0かつf(x)は極値を持つとき
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
⇔ (3√3){f(x)-d-2b^3/(27a^2)+bc/3a}/[a{b^2/(3a^2)-c/a}^(3/2)]
=[(√3)(x+b/3a)/{b^2/(3a^2)-c/a}^(1/2)]^3-(3√3)(x+b/3a)/{b^2/(3a^2)-c/a}^(1/2)

なので
g(x)=(3√3){f(x)-d-2b^3/(27a^2)+bc/3a}/[a{b^2/(3a^2)-c/a}^(3/2)]
t=(√3)(x+b/3a)/{b^2/(3a^2)-c/a}^(1/2)
とおくと

y=f(x)は平行移動と軸方向の拡大縮小反転で
y=g(t)=t^3-3tと変形できることがわかる

(±1,g(±1))は極大極小点、(0,g(0))は変曲点で、g(-2)=g(1)=-2, g(0)=0, g(-1)=g(2)=2
x=[t{(b^2-3ac)/a^2}^(1/2)-b/a]/3