そもそも「証明する」っていう前に、実数の定義が必要な話だからね。
1=0.999…　となるように定義されているのが、われわれが普通に普段使っている実数。
1=0.999…　にならないような別の実数を考えても良いけど、面倒くさくなるだけでメリットが少ない。