>>220
無限公理抜きの集合論とか、もっと強く無限集合が存在しないという公理をおいた集合論(有限限定集合論)も戦前くらいまでに研究されている。
無限公理抜きで選択公理は使う集合論なら有限集合についてほぼ通常と同じ結果が導かれるが、自然数全体の集合の存在は言えない。なのでたとえば有限集合の定義に自然数を用いるものは使えず、理論展開も面倒くさい。
ちなみに有限限定集合論なら選択公理は定理なので公理としては必要ない。