そもそも普通の実数の定義等を破棄して、1と0.999…を違う数と仮定しても何の矛盾もないだろ。
それだけだ。だから、証明も何もないよ…

>>7とかは普通の実数の定義からもたらされるところの計算だろ？
それができないとするなら、違う数としても何の問題もないよ。