>>367
Aから平面BCDにおろした垂線の足がH。
このとき△ABHと△ACHと△ADHは合同（直角三角形で斜辺と他の一辺が等しい）
よってBH=CH=DHとなり、Hは△BCDの外心。
また正四面体の外接球の中心をOとする。Oから平面BCDにおろした垂線の足をSとすると、外接球よりBS=CS=DSであることから△OBSと△OCSと△ODSは先程と同じように合同。
よってBS=CS=DSとなりSは△BCDの外心。よってS=H
よってA,Oは△BCDの外心Hを通る平面ABCに垂直な直線上にある。

内接球の厳密な証明はしらんわ