数学の問題です

A（a.0）がx軸上、
B（0.b）がy 軸上を
a＋b＝1、a≧0、b≧0
を満たしながら動くとき
線分ＡＢの通過する面積を求めよ

これの解説で （１−ａ）x＋ay=a（１−a）
となった後

f（a）=a^2−（x−y＋1）a＋x
とおいて
このf（a）=0が
0≦a≦1の範囲で
少なくとも一つ以上の解をもつ
集合（x.y）を求めればいい

このいみが全くわかりません
どうしてf（a）とおいて
その判別式をとると答えがわかるので すか？

実数解の個数を出す式から
面積がわかる理由がピンときません ！

判別式による実数解個数判定が
なんの役にたっているのかが
いまいちわかりません