部分分子がすべて１　部分分母がすべて自然数であるような無限連分数は　無理数である・・・☆を証明したいです
そのために
任意の実数は　部分分子がすべて１　部分分母がすべて自然数であるような連分数に展開される・・・（１）
任意の有理数αは　部分分子がすべて１　部分分母がすべて自然数であるような有限連分数に展開される・・・（２）
ことは示しました　あとは
任意の実数αについて
αは部分分子がすべて１　部分分母がすべて自然数であるような有限連分数にも展開されるし　部分分子がすべて１　部分分母がすべて自然数であるような無限連分数にも展開されることがない・・・（３）を証明して
任意の実数αについてαは（１）より
部分分子がすべて１　部分分母がすべて自然数であるような有限連分数に展開されるか　
部分分子がすべて１　部分分母がすべて自然数であるような無限連分数に展開されるか　のどちらかで　（３）よりこれらは排反だから（２）の対偶を考えて☆の証明完了　としたいのですが、（３)の証明がわかりません・・・
（３）の証明を教えてください

また、☆の証明は普通　この流れではなく別の証明があるのでしょうか？