有理数を筆算でp進展開する方法考えてたんですけど

1 m/n=a[N]p^N+a[N+1]p^(N+1)+a[N+2]^(N+2)+… (N∈Z,a[i]∈{0,1,…,p-1})
となっている

2 p^(-N)をかけることによって
m/n=a[0]+a[1]p+a[2]p^2+…
として始めればいい。その場合は得られた結果を右にN桁ずらす

3 p進展開を眺めれば
m/n=a[0]+p(a[1]+a[2]p+…)
なので、m/n=a[0]+p(m[1]/n[1])となるa[0]∈{0,1,…,p-1}と
m[1]/n[1]∈Qでn[1]はpを因子に含まないものが一意的に存在

4 m[1]/n[1]に関しても同じことをして
m[1]/n[1]=a[1]+p(m[2]/n[2])
となるa[1]∈{0,1,…,p-1}とm[2]/n[2]∈Qを得る
これを繰り返せば、いつかm[i]/n[i]がループする

という方法でできることは分かりましたが、3の存在性と一意性、4のループすることはどうやって証明するのでしょうか？