0<θ<π/2　で積分します。
K = ∫{ 1 - (ksinθ)^2 }^( -1/2 ) dθ
E = ∫{ 1 - (ksinθ)^2 }^( 1/2 ) dθ
とします。
以下　{ 1 - (ksinθ)^2 }　= P とします。
dK/dk
= ∫(-1/2) * {-2k(sinθ)^2} * P^( -3/2 ) dθ
= ∫{k(sinθ)^2} * P^( -3/2 ) dθ　…( 1 )
ここで
k * dK/dk = E/(1-k^2) -K
を正しいとします。以下∫を省略します。
これより
dK/dk
= P^(1/2) / { k*(1-k^2) } - 1/ { k * P^(1/2) }
= { P - (1-k^2) } / { k*(1-k^2)*P^(1/2) }
= k^2 * { 1 - (sinθ)^2 } / 〃　…( 2 )
( 1 ) と ( 2 ) が等しいので、少し整理して、
(sinθ)^2 / P = { 1 - (sinθ)^2 } / (1-k^2)
分母を払って、sinθ = S と書くと
S^2*(1-k^2) = ( 1-S^2 ) * ( 1 - k^2*S^2 )
展開してして
S^2 - k^2*S^2 = 1 - S^2 - k^2*S^2 + k^2*S^4

…両辺が多項式として一致しません。
つまり ( 1 ) と ( 2 ) が一致しないとなります。
積分記号下での微分の基礎はよく知っていないです。
読み辛くてすみません。